基本信息
- 項目名稱：
- 廣義Camassa-Holm方程的顯式周期波解及其分支
- 小類：
- 數(shù)理
- 簡介：
- 根據(jù)大量計算機模擬提供的信息和動力系統(tǒng)分支理論，我們推導(dǎo)了廣義 Camassa—Holm 方程的光滑周期波和周期爆破波的顯式表達式，證明了光滑周期波能演化成光滑孤立波，周期爆破波能演化成單爆破波。特別的，我們發(fā)現(xiàn)周期爆破波也能演化成光滑孤立波，別的方程從來沒有見過這種現(xiàn)象。我們的工作為該現(xiàn)實模型提供了理論依據(jù)和控制方法，我們的主要結(jié)果發(fā)表在SCI收錄雜志IJBC上，已經(jīng)被SCI檢索。
- 詳細介紹：
- 根據(jù)大量計算機模擬提供的特殊的周期軌道的特點，結(jié)合動力系統(tǒng)，行波系統(tǒng)的分支理論，我們推導(dǎo)了廣義 Camassa—Holm 方程的光滑周期波和周期爆破波的顯式表達式，不僅找到了分支變化臨界點，也證明了光滑周期波能演化成光滑孤立波，周期爆破波能演化成單爆破波。 更值得一提的是，我們發(fā)現(xiàn)周期爆破波也能演化成光滑孤立波，這是一種新的非線性現(xiàn)象，在別的方程從來沒有見過這種現(xiàn)象。結(jié)合已有結(jié)論，我們的結(jié)果從一個側(cè)面刻畫了非線性偏微分方程的積分流形的分類。 我們的工作為該方程所代表的實際模型的應(yīng)用提供了理論依據(jù)和參數(shù)選取范圍，我們的主要結(jié)果發(fā)表在SCI三區(qū)雜志IJBC上，已經(jīng)被SCI檢索。
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作品專業(yè)信息
撰寫目的和基本思路
- 目 的：研究廣義Camassa-Holm方程的顯式周期波解的存在性及分支情況。 基本思路：首先通過計算機對該方程的行波系統(tǒng)作模擬實驗，找出周期軌并觀察其變化情況，然后根據(jù)實驗提供的信息，從理論上證明特殊周期軌的存在條件及變化趨勢，最后利用特殊周期軌的表達式來導(dǎo)出原方程的顯式周期波解及其分支情況。
科學(xué)性、先進性及獨特之處
- 首先我們的結(jié)果包含了以前文獻的許多結(jié)論，對以前的結(jié)論做了推廣（我們不限制方程的解的波速，不要求方程系數(shù)確定）。 其次我們發(fā)現(xiàn)了新的分支現(xiàn)象，即從周期爆破解能分支出光滑孤立波解。結(jié)合前人已經(jīng)有的結(jié)果，我們的工作從一個側(cè)面反映了非線性偏微分方程的積分流形的分類問題上的一個更深刻的結(jié)果。 最后我們給出了確定的分支變化的臨界值，這對實際應(yīng)用提供了理論支持和參數(shù)范圍。
應(yīng)用價值和現(xiàn)實意義
- 首先為研究高次的非線性數(shù)學(xué)物理方程的顯式周期波解提供了一種方法； 其次為該方程所代表的實際模型的分析提供了參數(shù)范圍和理論依據(jù)； 從數(shù)學(xué)上，我們的工作是前人在孤立波的分支問題上的工作的推廣。
學(xué)術(shù)論文摘要
- 本文研究廣義Camassa-Holm方程的顯式周期波解及其分支，首先通過計算機對該方程的行波系統(tǒng)作了大量的數(shù)值實驗，然后根據(jù)實驗提供的信息，從理論上推導(dǎo)出了分支參數(shù)值為k以及分支波速值為c1和c2，對于c1與c2之間的波速c，還推導(dǎo)出了初始位置的4個分支值a1，a2，a3及a4，最后，利用行波系統(tǒng)的一些特殊周期軌道，導(dǎo)出了以上方程的顯式周期波解，并討論了這些周期波解的分支情況，特別地，我們發(fā)現(xiàn)了一個新分支現(xiàn)象，即由一個周期爆破解能分支出一個光滑孤立波解，其結(jié)果改進和推廣了前人的一些工作。
獲獎情況
- （1）本文的主要結(jié)果發(fā)表在SCI雜志：I. J. Bifur. & Choas (2010) Vol. 20，No.8, 2507—2519. 已被SCI收錄。 （2）本參賽作品獲得2011年5月校內(nèi)挑戰(zhàn)杯賽的特等獎。 （2）本參賽作品獲得2011年5月本省挑戰(zhàn)杯賽自然科學(xué)論文數(shù)理類的特等獎。
鑒定結(jié)果
- 主要結(jié)果發(fā)表在SCI雜志：I. J. Bifur. & Choas(2010)Vol. 20，No.8, 2507—2519. 可以檢索到DOI:10.1142/S0218127410027131
參考文獻
- 利用數(shù)學(xué)軟件Mathematica能檢驗本文結(jié)果的正確性。
同類課題研究水平概述
- 研究數(shù)學(xué)物理方程的解和對解的分析一直是數(shù)學(xué)物理學(xué)家們的一個重要研究領(lǐng)域，我所研究的方程是流體力學(xué)中的一個數(shù)學(xué)模型，很多學(xué)者都對該方程進行過研究： [1] Liu, Z. R. & Qian, T. F. [2001] “Peakons and their bifurcation in a generalized Camassa–Holm equation,” Int. J. Bifurcation and Chaos 11, 781–792. [2] Liu, Z. R. & Ouyang, Z. Y. [2007b] “A note on solitary waves for modified forms of Camassa–Holm and Degasperis–Procesi equations,” Phys. Lett. A 366, 377–381. [3] Liu, Z. R. & Guo, B. L. [2008] “Periodic blow-up solutions and their limit forms for the generalized Camassa–Holm equation,” Prog. Natural Sci. 18, 259–266. [4] Liu, Z. R. & Pan, J. [2009] “Coexistence of multifarious explicit nonlinear wave solutions for modified forms of Camassa–Holm and Degaperis–Procesi equations,” Int. J. Bifurcation and Chaos 19, 2267–2282. [5] Shen, J. W. & Xu, W. [2005] “Bifurcations of smooth and non-smooth travelling wave solutions in the generalized Camassa–Holm equation,” Chaos Solit. Fract. 26, 1149–1162.等。 以上作者主要針對固定的參數(shù)研究（固定的行波速或方程的系數(shù)），因此我們的結(jié)果包含了以上文獻中的許多結(jié)果。
