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基本信息
- 項目名稱：
- 四階兩點邊值問題正解的存在性
- 小類：
- 數(shù)理
- 簡介：
- 本文首先給出了Green函數(shù)的構(gòu)造與估計，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腻F，在非線性項適當(dāng)?shù)臈l件下，利用錐理論與錐壓縮不動點定理證明了一類四階微分微分方程兩點邊值問題的正解及多個正解的存在性.
- 詳細(xì)介紹：
- 常微分方程邊值問題在理論和應(yīng)用上，都有著非常重要的作用，它可以用來描述很多物理、生物和化學(xué)現(xiàn)象。因此，研究非線性常微分方程邊值問題解的存在性與多解性無論在理論上還是在實踐中都有著非常重要的意義. 兩端簡單支撐的彈性梁在平衡狀態(tài)下的變形,可以用一個四階微分方程的兩點邊值問題來表示。由于這類問題在物理等學(xué)科里的重要性,這類問題解的存在性已被許多學(xué)者所研究。本文在邊值條件y(0)=y(1)=y'(0)=y'(1)=0下，研究了方程y(x)的四階導(dǎo)數(shù)= f(x,y(x))的正解存在性， 給出兩端固定的彈性梁方程正解及多個正解存在的充分條件. 本文共分為四章， 第一章為緒論，敘述了本文所研究的四階微分方程邊值問題的研究背景、研究意義、本文所要研究的內(nèi)容、研究方法以及處理此類問題時需要的一些基本概念和相關(guān)定理. 第二章中，給出了Green函數(shù)的求解方法，并對Green函數(shù)進(jìn)行了估計. 第三章中，在非線性項滿足適當(dāng)條件下研究了一類四階兩點邊值問題正解的存在性，首先應(yīng)用Krasnosellskii不動點定理得到該問題至少有一個正解的存在性結(jié)果；再運(yùn)用Krasnosellskii不動點定理的推論獲得了該問題至少有兩個正解的存在性結(jié)果.并給出了一個實際的例子驗證了該問題正解的存在性. 第四章為結(jié)束語，對全文的內(nèi)容進(jìn)行總結(jié).
作品專業(yè)信息
撰寫目的和基本思路
- 常微分方程邊值問題由于其重要的理論價值和物理背景，一直被許多研究者所關(guān)注.本文首先給出了Green函數(shù)的構(gòu)造與估計，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腻F，在非線性項適當(dāng)?shù)臈l件下，利用錐理論與錐壓縮不動點定理證明了一類四階微分微分方程兩點邊值問題的正解及多個正解的存在性.
科學(xué)性、先進(jìn)性及獨特之處
- 本文給出兩端固定的彈性梁方程正解及多個正解存在的充分條件.對于兩端固定的梁，由于其定解條件特殊，不能直接轉(zhuǎn)換為方程組，本文通過對 在邊界條件 下的Green函數(shù)的研究，結(jié)合錐上的不動點定理，給出了該問題的正解及多個正解的存在性結(jié)果.
應(yīng)用價值和現(xiàn)實意義
- 非線性邊值問題源于應(yīng)用數(shù)學(xué)，物理學(xué)，控制論等多個應(yīng)用學(xué)科中，在非線性擴(kuò)散、氣體動力學(xué)、流體力學(xué)等學(xué)科中有重要應(yīng)用.因此，研究非線性常微分方程邊值問題解的存在性與多解性無論在理論上還是在實踐中都有著非常重要的意義. 在許多的文獻(xiàn)里，四階兩點邊值問題受到極大的重視，這源于在彈性力學(xué)中的應(yīng)用，本文研究了一類四階非線性微分方程的兩點邊值問題，在力學(xué)上，該方程描述了兩端固接的彈性梁的撓度.
學(xué)術(shù)論文摘要
- 常微分方程邊值問題在理論和應(yīng)用上，都有著非常重要的作用，它可以用來描述很多物理、生物和化學(xué)現(xiàn)象.因此，研究非線性常微分方程邊值問題解的存在性與多解性無論在理論上還是在實踐中都有著非常重要的意義.本文主要對非線性四階常微分方程邊值問題進(jìn)行研究，本文在邊值條件 下，研究了方程 的正解存在性，在非線性項滿足不同的條件等假設(shè)前提下，利用Krasnosellskii不動點定理，給出兩端固定的彈性梁方程正解及多個正解存在的充分條件.
獲獎情況
- 2011年3月1日，獲東北石油大學(xué)第六屆“挑戰(zhàn)杯”大學(xué)生課外學(xué)術(shù)科技作品競賽一等獎
鑒定結(jié)果
- 無
參考文獻(xiàn)
- [1]周友明.四階奇異微分方程邊值問題正解的存在性及多解性[J].應(yīng)用泛函分析學(xué)報,2006(01)：36-42. [2]李永祥.四階邊值問題正解的存在性與多解性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2003 (01)：99-116. [3]孫彥,劉立山. 三階奇異邊值問題的多解性[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報，2006(01)：92-98. [4]Ruyun Ma,ZHANG Feng-ran.Positive so lotions of fourth-order ordinary differential Equations[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報，1998，18（supp）:124-128.
同類課題研究水平概述
- 非線性泛函分析是應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個重要分支，因其能很好的解釋自然界中的各種各樣的自然現(xiàn)象受到了國內(nèi)外數(shù)學(xué)界和自然科學(xué)界的重視．受到了越來越多的數(shù)學(xué)工作者的關(guān)注.其中，非線性邊值問題源于應(yīng)用數(shù)學(xué)，物理學(xué)，控制論等各種應(yīng)用學(xué)科中，是目前分析數(shù)學(xué)中研究最為活躍的領(lǐng)域之一. 非線性常微分方程的邊值問題是微分方程領(lǐng)域中的一個重要研究課題，在非線性擴(kuò)散、氣體動力學(xué)、流體力學(xué)等學(xué)科中有重要應(yīng)用，對此已有很多研究.由于實際問題的需要進(jìn)一步研究非線性常微分方程組邊值問題就具有其內(nèi)在的價值.在泛函分析理論以及實際問題的推動下，常微分方程邊值問題的研究在近半個世紀(jì)里發(fā)展十分迅速.并且隨著新問題的出現(xiàn)，形成了許多新的研究方向. 常微分方程邊值問題由于其重要的理論價值和物理背景，一直被許多研究者所關(guān)注,并取得了豐富的研究成果.微分方程邊值問題的解的存在性是數(shù)學(xué)中一個古老而重要的問題,這類問題在物理等學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用.邊值問題的提出和發(fā)展，與流體力學(xué)、材料力學(xué)、波動力學(xué)以及核物理學(xué)等密切相關(guān)；并且在現(xiàn)代控制理論等學(xué)科中有重要應(yīng)用.因為常微分方程可以解析求解的類型甚少，所以求邊值問題的解也是困難的.為了適應(yīng)實際問題的需求，不得不采用近似解法，這樣，首先需要回答：邊值問題的解是否存在？是否惟一?這就是邊值問題的基本論題；關(guān)于邊值問題解的存在和惟一性問題的研究，在20世紀(jì)出現(xiàn)了大量文獻(xiàn)，至今仍不斷發(fā)表新的研究成果.并且將此問題擴(kuò)展到泛函微分問題和抽象空間微分問題.研究此問題所采用的方法也是多樣的.最初多用皮卡迭代法及分析方法；50年代以來發(fā)展且采用上、下解方法，瓦熱維斯基拓?fù)浞椒ǎ顏喥罩Z夫函數(shù)法等.拓?fù)涠壤碚撝胁粍狱c定理的發(fā)展，也給近代研究提供了重要工具.另外，非線性微分方程特征值問題，一種特殊的邊值問題，又稱為本征值問題或固有值問題.它是含有一個參數(shù)λ 的齊次邊值問題（微分方程和邊界條件都是齊次的），使齊次邊值問題具有非零解的數(shù)λ 稱為特征值，這些非零解本身稱為特征函數(shù)(或特征向量).特征值問題在聲學(xué)、光學(xué)、電磁理論、彈性力學(xué)、材料力學(xué)、流體力學(xué)和核物理等學(xué)科中，有一系列應(yīng)用，是量子力學(xué)的主要支柱.
