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基本信息
- 項(xiàng)目名稱：
- 四階兩點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性
- 來(lái)源：
- 第十二屆“挑戰(zhàn)杯”省賽作品
- 小類：
- 數(shù)理
- 簡(jiǎn)介：
- 本文首先給出了Green函數(shù)的構(gòu)造與估計(jì)，通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)腻F，在非線性項(xiàng)適當(dāng)?shù)臈l件下，利用錐理論與錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理證明了一類四階微分微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的正解及多個(gè)正解的存在性.
- 詳細(xì)介紹：
- 常微分方程邊值問(wèn)題在理論和應(yīng)用上，都有著非常重要的作用，它可以用來(lái)描述很多物理、生物和化學(xué)現(xiàn)象。因此，研究非線性常微分方程邊值問(wèn)題解的存在性與多解性無(wú)論在理論上還是在實(shí)踐中都有著非常重要的意義. 兩端簡(jiǎn)單支撐的彈性梁在平衡狀態(tài)下的變形,可以用一個(gè)四階微分方程的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題來(lái)表示。由于這類問(wèn)題在物理等學(xué)科里的重要性,這類問(wèn)題解的存在性已被許多學(xué)者所研究。本文在邊值條件y(0)=y(1)=y'(0)=y'(1)=0下，研究了方程y(x)的四階導(dǎo)數(shù)= f(x,y(x))的正解存在性， 給出兩端固定的彈性梁方程正解及多個(gè)正解存在的充分條件. 本文共分為四章， 第一章為緒論，敘述了本文所研究的四階微分方程邊值問(wèn)題的研究背景、研究意義、本文所要研究的內(nèi)容、研究方法以及處理此類問(wèn)題時(shí)需要的一些基本概念和相關(guān)定理. 第二章中，給出了Green函數(shù)的求解方法，并對(duì)Green函數(shù)進(jìn)行了估計(jì). 第三章中，在非線性項(xiàng)滿足適當(dāng)條件下研究了一類四階兩點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性，首先應(yīng)用Krasnosellskii不動(dòng)點(diǎn)定理得到該問(wèn)題至少有一個(gè)正解的存在性結(jié)果；再運(yùn)用Krasnosellskii不動(dòng)點(diǎn)定理的推論獲得了該問(wèn)題至少有兩個(gè)正解的存在性結(jié)果.并給出了一個(gè)實(shí)際的例子驗(yàn)證了該問(wèn)題正解的存在性. 第四章為結(jié)束語(yǔ)，對(duì)全文的內(nèi)容進(jìn)行總結(jié).
作品專業(yè)信息
撰寫目的和基本思路
- 常微分方程邊值問(wèn)題由于其重要的理論價(jià)值和物理背景，一直被許多研究者所關(guān)注.本文首先給出了Green函數(shù)的構(gòu)造與估計(jì)，通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)腻F，在非線性項(xiàng)適當(dāng)?shù)臈l件下，利用錐理論與錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理證明了一類四階微分微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的正解及多個(gè)正解的存在性.
科學(xué)性、先進(jìn)性及獨(dú)特之處
- 本文給出兩端固定的彈性梁方程正解及多個(gè)正解存在的充分條件.對(duì)于兩端固定的梁，由于其定解條件特殊，不能直接轉(zhuǎn)換為方程組，本文通過(guò)對(duì) 在邊界條件 下的Green函數(shù)的研究，結(jié)合錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理，給出了該問(wèn)題的正解及多個(gè)正解的存在性結(jié)果.
應(yīng)用價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義
- 非線性邊值問(wèn)題源于應(yīng)用數(shù)學(xué)，物理學(xué)，控制論等多個(gè)應(yīng)用學(xué)科中，在非線性擴(kuò)散、氣體動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)等學(xué)科中有重要應(yīng)用.因此，研究非線性常微分方程邊值問(wèn)題解的存在性與多解性無(wú)論在理論上還是在實(shí)踐中都有著非常重要的意義. 在許多的文獻(xiàn)里，四階兩點(diǎn)邊值問(wèn)題受到極大的重視，這源于在彈性力學(xué)中的應(yīng)用，本文研究了一類四階非線性微分方程的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題，在力學(xué)上，該方程描述了兩端固接的彈性梁的撓度.
學(xué)術(shù)論文摘要
- 常微分方程邊值問(wèn)題在理論和應(yīng)用上，都有著非常重要的作用，它可以用來(lái)描述很多物理、生物和化學(xué)現(xiàn)象.因此，研究非線性常微分方程邊值問(wèn)題解的存在性與多解性無(wú)論在理論上還是在實(shí)踐中都有著非常重要的意義.本文主要對(duì)非線性四階常微分方程邊值問(wèn)題進(jìn)行研究，本文在邊值條件 下，研究了方程 的正解存在性，在非線性項(xiàng)滿足不同的條件等假設(shè)前提下，利用Krasnosellskii不動(dòng)點(diǎn)定理，給出兩端固定的彈性梁方程正解及多個(gè)正解存在的充分條件.
獲獎(jiǎng)情況
- 2011年3月1日，獲東北石油大學(xué)第六屆“挑戰(zhàn)杯”大學(xué)生課外學(xué)術(shù)科技作品競(jìng)賽一等獎(jiǎng)
鑒定結(jié)果
- 無(wú)
參考文獻(xiàn)
- [1]周友明.四階奇異微分方程邊值問(wèn)題正解的存在性及多解性[J].應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào),2006(01)：36-42. [2]李永祥.四階邊值問(wèn)題正解的存在性與多解性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2003 (01)：99-116. [3]孫彥,劉立山. 三階奇異邊值問(wèn)題的多解性[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2006(01)：92-98. [4]Ruyun Ma,ZHANG Feng-ran.Positive so lotions of fourth-order ordinary differential Equations[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，1998，18（supp）:124-128.
同類課題研究水平概述
- 非線性泛函分析是應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要分支，因其能很好的解釋自然界中的各種各樣的自然現(xiàn)象受到了國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)界和自然科學(xué)界的重視．受到了越來(lái)越多的數(shù)學(xué)工作者的關(guān)注.其中，非線性邊值問(wèn)題源于應(yīng)用數(shù)學(xué)，物理學(xué)，控制論等各種應(yīng)用學(xué)科中，是目前分析數(shù)學(xué)中研究最為活躍的領(lǐng)域之一. 非線性常微分方程的邊值問(wèn)題是微分方程領(lǐng)域中的一個(gè)重要研究課題，在非線性擴(kuò)散、氣體動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)等學(xué)科中有重要應(yīng)用，對(duì)此已有很多研究.由于實(shí)際問(wèn)題的需要進(jìn)一步研究非線性常微分方程組邊值問(wèn)題就具有其內(nèi)在的價(jià)值.在泛函分析理論以及實(shí)際問(wèn)題的推動(dòng)下，常微分方程邊值問(wèn)題的研究在近半個(gè)世紀(jì)里發(fā)展十分迅速.并且隨著新問(wèn)題的出現(xiàn)，形成了許多新的研究方向. 常微分方程邊值問(wèn)題由于其重要的理論價(jià)值和物理背景，一直被許多研究者所關(guān)注,并取得了豐富的研究成果.微分方程邊值問(wèn)題的解的存在性是數(shù)學(xué)中一個(gè)古老而重要的問(wèn)題,這類問(wèn)題在物理等學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用.邊值問(wèn)題的提出和發(fā)展，與流體力學(xué)、材料力學(xué)、波動(dòng)力學(xué)以及核物理學(xué)等密切相關(guān)；并且在現(xiàn)代控制理論等學(xué)科中有重要應(yīng)用.因?yàn)槌Ｎ⒎址匠炭梢越馕銮蠼獾念愋蜕跎?，所以求邊值?wèn)題的解也是困難的.為了適應(yīng)實(shí)際問(wèn)題的需求，不得不采用近似解法，這樣，首先需要回答：邊值問(wèn)題的解是否存在？是否惟一?這就是邊值問(wèn)題的基本論題；關(guān)于邊值問(wèn)題解的存在和惟一性問(wèn)題的研究，在20世紀(jì)出現(xiàn)了大量文獻(xiàn)，至今仍不斷發(fā)表新的研究成果.并且將此問(wèn)題擴(kuò)展到泛函微分問(wèn)題和抽象空間微分問(wèn)題.研究此問(wèn)題所采用的方法也是多樣的.最初多用皮卡迭代法及分析方法；50年代以來(lái)發(fā)展且采用上、下解方法，瓦熱維斯基拓?fù)浞椒?，李亞普諾夫函數(shù)法等.拓?fù)涠壤碚撝胁粍?dòng)點(diǎn)定理的發(fā)展，也給近代研究提供了重要工具.另外，非線性微分方程特征值問(wèn)題，一種特殊的邊值問(wèn)題，又稱為本征值問(wèn)題或固有值問(wèn)題.它是含有一個(gè)參數(shù)λ 的齊次邊值問(wèn)題（微分方程和邊界條件都是齊次的），使齊次邊值問(wèn)題具有非零解的數(shù)λ 稱為特征值，這些非零解本身稱為特征函數(shù)(或特征向量).特征值問(wèn)題在聲學(xué)、光學(xué)、電磁理論、彈性力學(xué)、材料力學(xué)、流體力學(xué)和核物理等學(xué)科中，有一系列應(yīng)用，是量子力學(xué)的主要支柱.
