基本信息
- 項目名稱：
- 四階兩點邊值問題正解的存在性
- 小類：
- 數(shù)理
- 大類：
- 自然科學類學術論文
- 簡介：
- 本文首先給出了Green函數(shù)的構造與估計，通過構造適當?shù)腻F，在非線性項適當?shù)臈l件下，利用錐理論與錐壓縮不動點定理證明了一類四階微分微分方程兩點邊值問題的正解及多個正解的存在性.
- 詳細介紹：
- 常微分方程邊值問題在理論和應用上，都有著非常重要的作用，它可以用來描述很多物理、生物和化學現(xiàn)象。因此，研究非線性常微分方程邊值問題解的存在性與多解性無論在理論上還是在實踐中都有著非常重要的意義. 兩端簡單支撐的彈性梁在平衡狀態(tài)下的變形,可以用一個四階微分方程的兩點邊值問題來表示。由于這類問題在物理等學科里的重要性,這類問題解的存在性已被許多學者所研究。本文在邊值條件y(0)=y(1)=y'(0)=y'(1)=0下，研究了方程y(x)的四階導數(shù)= f(x,y(x))的正解存在性， 給出兩端固定的彈性梁方程正解及多個正解存在的充分條件. 本文共分為四章， 第一章為緒論，敘述了本文所研究的四階微分方程邊值問題的研究背景、研究意義、本文所要研究的內容、研究方法以及處理此類問題時需要的一些基本概念和相關定理. 第二章中，給出了Green函數(shù)的求解方法，并對Green函數(shù)進行了估計. 第三章中，在非線性項滿足適當條件下研究了一類四階兩點邊值問題正解的存在性，首先應用Krasnosellskii不動點定理得到該問題至少有一個正解的存在性結果；再運用Krasnosellskii不動點定理的推論獲得了該問題至少有兩個正解的存在性結果.并給出了一個實際的例子驗證了該問題正解的存在性. 第四章為結束語，對全文的內容進行總結.
作品專業(yè)信息
撰寫目的和基本思路
- 常微分方程邊值問題由于其重要的理論價值和物理背景，一直被許多研究者所關注.本文首先給出了Green函數(shù)的構造與估計，通過構造適當?shù)腻F，在非線性項適當?shù)臈l件下，利用錐理論與錐壓縮不動點定理證明了一類四階微分微分方程兩點邊值問題的正解及多個正解的存在性.
科學性、先進性及獨特之處
- 本文給出兩端固定的彈性梁方程正解及多個正解存在的充分條件.對于兩端固定的梁，由于其定解條件特殊，不能直接轉換為方程組，本文通過對 在邊界條件 下的Green函數(shù)的研究，結合錐上的不動點定理，給出了該問題的正解及多個正解的存在性結果.
應用價值和現(xiàn)實意義
- 非線性邊值問題源于應用數(shù)學，物理學，控制論等多個應用學科中，在非線性擴散、氣體動力學、流體力學等學科中有重要應用.因此，研究非線性常微分方程邊值問題解的存在性與多解性無論在理論上還是在實踐中都有著非常重要的意義. 在許多的文獻里，四階兩點邊值問題受到極大的重視，這源于在彈性力學中的應用，本文研究了一類四階非線性微分方程的兩點邊值問題，在力學上，該方程描述了兩端固接的彈性梁的撓度.
學術論文摘要
- 常微分方程邊值問題在理論和應用上，都有著非常重要的作用，它可以用來描述很多物理、生物和化學現(xiàn)象.因此，研究非線性常微分方程邊值問題解的存在性與多解性無論在理論上還是在實踐中都有著非常重要的意義.本文主要對非線性四階常微分方程邊值問題進行研究，本文在邊值條件 下，研究了方程 的正解存在性，在非線性項滿足不同的條件等假設前提下，利用Krasnosellskii不動點定理，給出兩端固定的彈性梁方程正解及多個正解存在的充分條件.
獲獎情況
- 2011年3月1日，獲東北石油大學第六屆“挑戰(zhàn)杯”大學生課外學術科技作品競賽一等獎
鑒定結果
- 無
參考文獻
- [1]周友明.四階奇異微分方程邊值問題正解的存在性及多解性[J].應用泛函分析學報,2006(01)：36-42. [2]李永祥.四階邊值問題正解的存在性與多解性[J].應用數(shù)學學報，2003 (01)：99-116. [3]孫彥,劉立山. 三階奇異邊值問題的多解性[J].工程數(shù)學學報，2006(01)：92-98. [4]Ruyun Ma,ZHANG Feng-ran.Positive so lotions of fourth-order ordinary differential Equations[J].數(shù)學物理學報，1998，18（supp）:124-128.
同類課題研究水平概述
- 非線性泛函分析是應用數(shù)學中的一個重要分支，因其能很好的解釋自然界中的各種各樣的自然現(xiàn)象受到了國內外數(shù)學界和自然科學界的重視．受到了越來越多的數(shù)學工作者的關注.其中，非線性邊值問題源于應用數(shù)學，物理學，控制論等各種應用學科中，是目前分析數(shù)學中研究最為活躍的領域之一. 非線性常微分方程的邊值問題是微分方程領域中的一個重要研究課題，在非線性擴散、氣體動力學、流體力學等學科中有重要應用，對此已有很多研究.由于實際問題的需要進一步研究非線性常微分方程組邊值問題就具有其內在的價值.在泛函分析理論以及實際問題的推動下，常微分方程邊值問題的研究在近半個世紀里發(fā)展十分迅速.并且隨著新問題的出現(xiàn)，形成了許多新的研究方向. 常微分方程邊值問題由于其重要的理論價值和物理背景，一直被許多研究者所關注,并取得了豐富的研究成果.微分方程邊值問題的解的存在性是數(shù)學中一個古老而重要的問題,這類問題在物理等學科中有著廣泛的應用.邊值問題的提出和發(fā)展，與流體力學、材料力學、波動力學以及核物理學等密切相關；并且在現(xiàn)代控制理論等學科中有重要應用.因為常微分方程可以解析求解的類型甚少，所以求邊值問題的解也是困難的.為了適應實際問題的需求，不得不采用近似解法，這樣，首先需要回答：邊值問題的解是否存在？是否惟一?這就是邊值問題的基本論題；關于邊值問題解的存在和惟一性問題的研究，在20世紀出現(xiàn)了大量文獻，至今仍不斷發(fā)表新的研究成果.并且將此問題擴展到泛函微分問題和抽象空間微分問題.研究此問題所采用的方法也是多樣的.最初多用皮卡迭代法及分析方法；50年代以來發(fā)展且采用上、下解方法，瓦熱維斯基拓撲方法，李亞普諾夫函數(shù)法等.拓撲度理論中不動點定理的發(fā)展，也給近代研究提供了重要工具.另外，非線性微分方程特征值問題，一種特殊的邊值問題，又稱為本征值問題或固有值問題.它是含有一個參數(shù)λ 的齊次邊值問題（微分方程和邊界條件都是齊次的），使齊次邊值問題具有非零解的數(shù)λ 稱為特征值，這些非零解本身稱為特征函數(shù)(或特征向量).特征值問題在聲學、光學、電磁理論、彈性力學、材料力學、流體力學和核物理等學科中，有一系列應用，是量子力學的主要支柱.
