基本信息
- 項目名稱：
- 翻轉全對稱矩陣的Schur分解
- 小類：
- 數(shù)理
- 大類：
- 自然科學類學術論文
- 簡介：
- 本課題從矩陣的行與列的方向來研究矩陣，在已有成果的基礎上提出了翻轉矩陣、翻轉全對稱矩陣等概念，討論了這些矩陣及其相關矩陣的性質(zhì)，探討了翻轉全對稱矩陣的結構形式；并通過矩陣分塊研究了其行列式、秩和跡等相關數(shù)值特征，研究了這類矩陣的Schur分解及復正規(guī)陣分解，給出了其Schur分解的快速算法，將其化成階數(shù)較低的矩陣，從而極大地減少翻轉全對稱矩陣的計算量與存儲量．并得出了一些新的結果。
- 詳細介紹：
- 對于矩陣的研究，通常人們是從其主對角線入手，至于次對角線和行列方向的情形常被忽略。但事實上不是主對角線方向的矩陣理論同樣是有用的，它們在統(tǒng)計學、系統(tǒng)論、控制論、工程領域的應用問題等方面都有應用。本課題從矩陣的行與列的方向來研究矩陣，在已有成果的基礎上提出了翻轉矩陣、翻轉全對稱矩陣等概念，推廣和改進了已有對稱矩陣的概念，在新概念的基礎上建立新的理論，討論某些矩陣結構形式等新問題，并研究了這類矩陣的Schur分解及復正規(guī)陣分解，給出了其Schur分解的快速算法，將其化成階數(shù)較低的矩陣，從而極大地減少翻轉全對稱矩陣的計算量與存儲量．并得出了一些新的結果。
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作品專業(yè)信息
撰寫目的和基本思路
- 本課題研究的目的是：進一步拓展和豐富矩陣計算及矩陣分解的某些理論問題，為其它應用性學科的研究和應用提供理論依據(jù)和數(shù)學工具，同時也進一步完善矩陣的理論問題。 本課題的研究思路是：本課題從矩陣的行與列的方向來研究矩陣，在已有成果的基礎上提出了翻轉矩陣、翻轉全對稱矩陣等概念，推廣和改進了已有對稱矩陣的概念，討論某些矩陣結構形式等新問題，并研究這些矩陣的Schur分解等問題。
科學性、先進性及獨特之處
- 本課題給出了幾個新類型矩陣的概念，例如：垂直翻轉矩陣、水平翻轉矩陣以及翻轉全對稱矩陣等都是首次提出；討論了這些矩陣及其相關矩陣的性質(zhì)，探討了翻轉全對稱矩陣的結構形式；研究這類矩陣的Schur分解等問題，得出了一些新的結果。 本課題的獨特之處在于通過翻轉全對稱矩陣結構形式的探討,不僅得出了這類矩陣的一些性質(zhì)，更重要的是通過從行與列方向對矩陣的研究找到一類翻轉全對稱矩陣的分解問題。
應用價值和現(xiàn)實意義
- 眾多應用領域中(如信息、控制、工程等)大量出現(xiàn)了關于行，列方向的對稱圖像（矩陣），因此從行與列方向對矩陣的研究將有比較廣泛的應用，起著舉足輕重的地位。本課題所提出的翻轉矩陣及翻轉全對稱矩陣是裝置矩陣、對稱矩陣等多種矩陣的推廣。研究這些矩陣的分解可極大地減少其計算量與存儲量，使問題的工具更加具體，同時也豐富了矩陣理論。
學術論文摘要
- 本課題從矩陣的行與列的方向來研究矩陣，在已有成果的基礎上提出了翻轉矩陣、翻轉全對稱矩陣等概念，討論了這些矩陣及其相關矩陣的性質(zhì)，探討了翻轉全對稱矩陣的結構形式；并通過矩陣分塊研究了其行列式、秩和跡等相關數(shù)值特征，研究了這類矩陣的Schur分解及復正規(guī)陣分解，給出了其Schur分解的快速算法，將其化成階數(shù)較低的矩陣，從而極大地減少翻轉全對稱矩陣的計算量與存儲量．并得出了一些新的結果。
獲獎情況
- 王超．翻轉全對稱矩陣的Schur分解[J]．韓山師范學院，2011,32（3）：（待發(fā)表）．
鑒定結果
- 已錄用
參考文獻
- [1] 秦兆華．關于次對稱矩陣與反次對陣矩陣.西南師范學院學報（自然科學版），1985，（1）：100-110. [2] 秦兆華．矩陣的次轉置及實次對稱矩陣的次正定性[J]．渝州大學學報，1994，3：14-17． [3] 袁暉坪.亞正交矩陣與亞對稱矩陣[J].高等數(shù)學研究，2001，4（4）:32-36． [4] 袁暉坪.準正交矩陣與準對稱矩陣[J].工程數(shù)學學報,2004,21（4）:642-644． [5] 許永平．次對稱矩陣及一些結論[J]．四川教育學院學報，1997，13（2）：94-97． [6] 許永平，石小平.正交矩陣的充要條件與O-正交矩陣的性質(zhì)[J].南京林業(yè)大學學報（自然科學版）,2005，29（2）:54-56． [7] 晏能中．論全對稱實矩陣的性質(zhì)[J]．達縣師范高等專科學校學報(自然科學版)， 2003，13（2）：3-5． [8] 鄒紅星，王殿軍，等．延拓矩陣的奇異值分解[J]．電子學報，2001，29（3）：289-292． [9] 鄒紅星，王殿軍，戴瓊海，等．行（或列）對稱矩陣的QR分解 [J]．中國科學（A輯），2002，32(9)：842-829． [10] 王超，劉玉．翻轉矩陣及翻轉型正交矩陣[J]．高師理科學刊，2011,31（1）：46-49．
同類課題研究水平概述
- 在矩陣理論與應用中，從主對角線出發(fā)來研究矩陣的理論與應用占據(jù)著相當重要的地位，其理論成果在國內(nèi)外已相當豐富、相當成熟。但近20多年來一些學者開始從其它方向來研究矩陣的某些問題，例如 從次對角線方向對矩陣研究就已取得了豐富的成果。秦兆華于1985年在文[1] 首先給出次對稱矩陣與反次對陣矩陣的概念，討論了次對稱矩陣與反次對陣矩陣的相關性質(zhì)，通過次對角線的研究，他于1994年在文[2]中提出實次對稱矩陣的次正定性的概念，2001年袁暉坪在文獻[3]中利用次對稱矩陣，給出了亞正交矩陣與亞對稱矩陣的概念，它將各類正交矩陣、對稱矩陣等統(tǒng)一了起來；他又在2004年于文獻[4]中利用次轉置矩陣給出了準正交矩陣與準正交矩陣的概念，推廣了正交矩陣與反對稱矩陣之間的相應結果；許永平在次轉置矩陣的基礎上，于文獻[5]中再次給出次對稱矩陣的定義、并補充了次對稱矩陣的某些性質(zhì)，他又在2005年于文獻[6] 從另一個角度推廣了對稱矩陣與次對稱矩陣的概念.定義了全轉置矩陣等概念，分析了這類矩陣與正交矩陣的關系，得到了正交矩陣的充分必要條件。晏能中于文[7]結合了次對稱與對稱的特點提出了全對稱矩陣的定義，并研究其性質(zhì)。而對于從行列方向來研究矩陣則起步較晚，鄒紅星于2001年在文獻[8]中首次從行列對稱方向首次提出了延拓矩陣的概念，在其基礎上并討論了其性質(zhì)。2002年鄒紅星、王殿軍，戴瓊海，等在文獻[9]中對延拓矩陣進行QR分解。給出了行(列)對稱矩陣的QR分解算法。使得關于行列方向的特殊矩陣研究又向前推進了一步。 對于從行列方向研究矩陣問題的另一種思路，王超（本文作者）在文[10]中提出了翻轉矩陣概念并討論了這類矩陣的性質(zhì)，又在文[11]中給出了J-翻轉型正交矩陣的概念及某些性質(zhì)，進而使得上述問題的研究又取得了新的進展。 本課題從矩陣的行與列的方向來研究矩陣，在已有成果的基礎上提出了翻轉矩陣及翻轉全對稱矩陣的概念；討論了這幾個概念的基本性質(zhì)和相關矩陣的性質(zhì)；并通過矩陣分塊研究了其行列式、秩和跡等相關數(shù)值特征；研究了這類矩陣的Schur分解及復正規(guī)陣分解，給出了其Schur分解的快速算法，將其化成階數(shù)較低的矩陣，從而極大地減少翻轉全對稱矩陣的計算量與存儲量．并得出了一些新的結果。
