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基本信息
- 項(xiàng)目名稱：
- 翻轉(zhuǎn)全對稱矩陣的Schur分解
- 小類：
- 數(shù)理
- 簡介：
- 本課題從矩陣的行與列的方向來研究矩陣，在已有成果的基礎(chǔ)上提出了翻轉(zhuǎn)矩陣、翻轉(zhuǎn)全對稱矩陣等概念，討論了這些矩陣及其相關(guān)矩陣的性質(zhì)，探討了翻轉(zhuǎn)全對稱矩陣的結(jié)構(gòu)形式；并通過矩陣分塊研究了其行列式、秩和跡等相關(guān)數(shù)值特征，研究了這類矩陣的Schur分解及復(fù)正規(guī)陣分解，給出了其Schur分解的快速算法，將其化成階數(shù)較低的矩陣，從而極大地減少翻轉(zhuǎn)全對稱矩陣的計(jì)算量與存儲(chǔ)量．并得出了一些新的結(jié)果。
- 詳細(xì)介紹：
- 對于矩陣的研究，通常人們是從其主對角線入手，至于次對角線和行列方向的情形常被忽略。但事實(shí)上不是主對角線方向的矩陣?yán)碚撏瑯邮怯杏玫模鼈冊诮y(tǒng)計(jì)學(xué)、系統(tǒng)論、控制論、工程領(lǐng)域的應(yīng)用問題等方面都有應(yīng)用。本課題從矩陣的行與列的方向來研究矩陣，在已有成果的基礎(chǔ)上提出了翻轉(zhuǎn)矩陣、翻轉(zhuǎn)全對稱矩陣等概念，推廣和改進(jìn)了已有對稱矩陣的概念，在新概念的基礎(chǔ)上建立新的理論，討論某些矩陣結(jié)構(gòu)形式等新問題，并研究了這類矩陣的Schur分解及復(fù)正規(guī)陣分解，給出了其Schur分解的快速算法，將其化成階數(shù)較低的矩陣，從而極大地減少翻轉(zhuǎn)全對稱矩陣的計(jì)算量與存儲(chǔ)量．并得出了一些新的結(jié)果。
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作品專業(yè)信息
撰寫目的和基本思路
- 本課題研究的目的是：進(jìn)一步拓展和豐富矩陣計(jì)算及矩陣分解的某些理論問題，為其它應(yīng)用性學(xué)科的研究和應(yīng)用提供理論依據(jù)和數(shù)學(xué)工具，同時(shí)也進(jìn)一步完善矩陣的理論問題。 本課題的研究思路是：本課題從矩陣的行與列的方向來研究矩陣，在已有成果的基礎(chǔ)上提出了翻轉(zhuǎn)矩陣、翻轉(zhuǎn)全對稱矩陣等概念，推廣和改進(jìn)了已有對稱矩陣的概念，討論某些矩陣結(jié)構(gòu)形式等新問題，并研究這些矩陣的Schur分解等問題。
科學(xué)性、先進(jìn)性及獨(dú)特之處
- 本課題給出了幾個(gè)新類型矩陣的概念，例如：垂直翻轉(zhuǎn)矩陣、水平翻轉(zhuǎn)矩陣以及翻轉(zhuǎn)全對稱矩陣等都是首次提出；討論了這些矩陣及其相關(guān)矩陣的性質(zhì)，探討了翻轉(zhuǎn)全對稱矩陣的結(jié)構(gòu)形式；研究這類矩陣的Schur分解等問題，得出了一些新的結(jié)果。 本課題的獨(dú)特之處在于通過翻轉(zhuǎn)全對稱矩陣結(jié)構(gòu)形式的探討,不僅得出了這類矩陣的一些性質(zhì)，更重要的是通過從行與列方向?qū)仃嚨难芯空业揭活惙D(zhuǎn)全對稱矩陣的分解問題。
應(yīng)用價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義
- 眾多應(yīng)用領(lǐng)域中(如信息、控制、工程等)大量出現(xiàn)了關(guān)于行，列方向的對稱圖像（矩陣），因此從行與列方向?qū)仃嚨难芯繉⒂斜容^廣泛的應(yīng)用，起著舉足輕重的地位。本課題所提出的翻轉(zhuǎn)矩陣及翻轉(zhuǎn)全對稱矩陣是裝置矩陣、對稱矩陣等多種矩陣的推廣。研究這些矩陣的分解可極大地減少其計(jì)算量與存儲(chǔ)量，使問題的工具更加具體，同時(shí)也豐富了矩陣?yán)碚摗?/dd>
學(xué)術(shù)論文摘要
- 本課題從矩陣的行與列的方向來研究矩陣，在已有成果的基礎(chǔ)上提出了翻轉(zhuǎn)矩陣、翻轉(zhuǎn)全對稱矩陣等概念，討論了這些矩陣及其相關(guān)矩陣的性質(zhì)，探討了翻轉(zhuǎn)全對稱矩陣的結(jié)構(gòu)形式；并通過矩陣分塊研究了其行列式、秩和跡等相關(guān)數(shù)值特征，研究了這類矩陣的Schur分解及復(fù)正規(guī)陣分解，給出了其Schur分解的快速算法，將其化成階數(shù)較低的矩陣，從而極大地減少翻轉(zhuǎn)全對稱矩陣的計(jì)算量與存儲(chǔ)量．并得出了一些新的結(jié)果。
獲獎(jiǎng)情況
- 王超．翻轉(zhuǎn)全對稱矩陣的Schur分解[J]．韓山師范學(xué)院，2011,32（3）：（待發(fā)表）．
鑒定結(jié)果
- 已錄用
參考文獻(xiàn)
- [1] 秦兆華．關(guān)于次對稱矩陣與反次對陣矩陣.西南師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1985，（1）：100-110. [2] 秦兆華．矩陣的次轉(zhuǎn)置及實(shí)次對稱矩陣的次正定性[J]．渝州大學(xué)學(xué)報(bào)，1994，3：14-17． [3] 袁暉坪.亞正交矩陣與亞對稱矩陣[J].高等數(shù)學(xué)研究，2001，4（4）:32-36． [4] 袁暉坪.準(zhǔn)正交矩陣與準(zhǔn)對稱矩陣[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2004,21（4）:642-644． [5] 許永平．次對稱矩陣及一些結(jié)論[J]．四川教育學(xué)院學(xué)報(bào)，1997，13（2）：94-97． [6] 許永平，石小平.正交矩陣的充要條件與O-正交矩陣的性質(zhì)[J].南京林業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）,2005，29（2）:54-56． [7] 晏能中．論全對稱實(shí)矩陣的性質(zhì)[J]．達(dá)縣師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)， 2003，13（2）：3-5． [8] 鄒紅星，王殿軍，等．延拓矩陣的奇異值分解[J]．電子學(xué)報(bào)，2001，29（3）：289-292． [9] 鄒紅星，王殿軍，戴瓊海，等．行（或列）對稱矩陣的QR分解 [J]．中國科學(xué)（A輯），2002，32(9)：842-829． [10] 王超，劉玉．翻轉(zhuǎn)矩陣及翻轉(zhuǎn)型正交矩陣[J]．高師理科學(xué)刊，2011,31（1）：46-49．
同類課題研究水平概述
- 在矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用中，從主對角線出發(fā)來研究矩陣的理論與應(yīng)用占據(jù)著相當(dāng)重要的地位，其理論成果在國內(nèi)外已相當(dāng)豐富、相當(dāng)成熟。但近20多年來一些學(xué)者開始從其它方向來研究矩陣的某些問題，例如 從次對角線方向?qū)仃囇芯烤鸵讶〉昧素S富的成果。秦兆華于1985年在文[1] 首先給出次對稱矩陣與反次對陣矩陣的概念，討論了次對稱矩陣與反次對陣矩陣的相關(guān)性質(zhì)，通過次對角線的研究，他于1994年在文[2]中提出實(shí)次對稱矩陣的次正定性的概念，2001年袁暉坪在文獻(xiàn)[3]中利用次對稱矩陣，給出了亞正交矩陣與亞對稱矩陣的概念，它將各類正交矩陣、對稱矩陣等統(tǒng)一了起來；他又在2004年于文獻(xiàn)[4]中利用次轉(zhuǎn)置矩陣給出了準(zhǔn)正交矩陣與準(zhǔn)正交矩陣的概念，推廣了正交矩陣與反對稱矩陣之間的相應(yīng)結(jié)果；許永平在次轉(zhuǎn)置矩陣的基礎(chǔ)上，于文獻(xiàn)[5]中再次給出次對稱矩陣的定義、并補(bǔ)充了次對稱矩陣的某些性質(zhì)，他又在2005年于文獻(xiàn)[6] 從另一個(gè)角度推廣了對稱矩陣與次對稱矩陣的概念.定義了全轉(zhuǎn)置矩陣等概念，分析了這類矩陣與正交矩陣的關(guān)系，得到了正交矩陣的充分必要條件。晏能中于文[7]結(jié)合了次對稱與對稱的特點(diǎn)提出了全對稱矩陣的定義，并研究其性質(zhì)。而對于從行列方向來研究矩陣則起步較晚，鄒紅星于2001年在文獻(xiàn)[8]中首次從行列對稱方向首次提出了延拓矩陣的概念，在其基礎(chǔ)上并討論了其性質(zhì)。2002年鄒紅星、王殿軍，戴瓊海，等在文獻(xiàn)[9]中對延拓矩陣進(jìn)行QR分解。給出了行(列)對稱矩陣的QR分解算法。使得關(guān)于行列方向的特殊矩陣研究又向前推進(jìn)了一步。 對于從行列方向研究矩陣問題的另一種思路，王超（本文作者）在文[10]中提出了翻轉(zhuǎn)矩陣概念并討論了這類矩陣的性質(zhì)，又在文[11]中給出了J-翻轉(zhuǎn)型正交矩陣的概念及某些性質(zhì)，進(jìn)而使得上述問題的研究又取得了新的進(jìn)展。 本課題從矩陣的行與列的方向來研究矩陣，在已有成果的基礎(chǔ)上提出了翻轉(zhuǎn)矩陣及翻轉(zhuǎn)全對稱矩陣的概念；討論了這幾個(gè)概念的基本性質(zhì)和相關(guān)矩陣的性質(zhì)；并通過矩陣分塊研究了其行列式、秩和跡等相關(guān)數(shù)值特征；研究了這類矩陣的Schur分解及復(fù)正規(guī)陣分解，給出了其Schur分解的快速算法，將其化成階數(shù)較低的矩陣，從而極大地減少翻轉(zhuǎn)全對稱矩陣的計(jì)算量與存儲(chǔ)量．并得出了一些新的結(jié)果。
