基本信息
- 項目名稱：
- 一個新超混沌系統(tǒng)的同步控制研究
- 小類：
- 數(shù)理
- 大類：
- 自然科學類學術論文
- 簡介：
- 本文為馬有奎、金夢皎、朱海芬三位同學在教師的指導下獨立完成的自然科學類學術論文，主要對一個新超混沌系統(tǒng)同步控制做了有限的說明和研究
- 詳細介紹：
- 引言 目前，大多數(shù)的保密通信系統(tǒng)采用只有一個正的李雅普諾夫指數(shù)的簡單混沌系統(tǒng)，然而文獻[1-3]指出，在用于通信時，這些混沌系統(tǒng)的安全性往往會受到威脅。如使用非線性動力學預測或回歸映射等方法，可以重構混沌系統(tǒng)，從而對信息進行解密，這樣的混沌通信系統(tǒng)存在保密性弱、易破譯的缺陷。含有多個正的李雅普諾夫指數(shù)的超混沌系統(tǒng)，可以產生更加復雜的動力學行為，具有更強的不可預測性，從而提高通信的保密性。而且，目前實際的超混沌保密通訊源較少，因此，人們考慮增加混沌系統(tǒng)的維數(shù)，增加系統(tǒng)的復雜程度，從而提高系統(tǒng)的保密性。常用的方法是在已有的三維混沌系統(tǒng)基礎上，增加維數(shù)，構造四維或高維的混沌或超混沌系統(tǒng)。自從上個世紀六十年代初，美國氣象學家Lorenz在研究大氣層的熱對流問題，發(fā)現(xiàn)第一個混沌吸引子之后[4]，Lorenz系統(tǒng)作為一個典型的混沌模型得到了廣泛的研究，1999年， Chen在研究混沌反控制方法[2]時成功地實現(xiàn)一個與Lorenz系統(tǒng)相似但非拓撲等價的Chen系統(tǒng),從而激發(fā)了人們對混沌生成的研究興趣，如Lü系統(tǒng)及統(tǒng)一混沌系統(tǒng)，最近，有人在研究Chen系統(tǒng)與Lü系統(tǒng)的控制過程中發(fā)現(xiàn)超混沌Chen系統(tǒng)[5]和超混沌Lü系統(tǒng)[6]。 1990年Pecora和Carroll首次提出混沌同步的思想，并給出了一種有效的方法[7]，隨后又在實驗中觀察到混沌同步的現(xiàn)象，近年來，隨著混沌同步研究的不斷深入，人們提出了許多混沌同步的方法，如線性耦合法，自適應方法等[8-10]，人們發(fā)現(xiàn)它在保密通信和振蕩發(fā)生器的設計等領域有著巨大的應用前景，混沌同步在許多領域引起了廣泛關注與研究[11-13]。 本文基于對Lorenz系統(tǒng)反饋控制的研究，提出一個新超混沌系統(tǒng)，運用相圖，Lyapunov指數(shù)譜，功率譜,Poincare映射證實該系統(tǒng)在適當?shù)膮?shù)條件下處于超混沌狀態(tài)，然后應用非線性控制方法與非線性耦合法研究了兩個恒同的新超混沌系統(tǒng)的同步控制問題，并給出在這兩種方法下實現(xiàn)超混沌同步的條件，用Lyapunov方法理論證明了結論，并通過數(shù)值仿真證實了控制方法的有效性。 1 超混沌系統(tǒng)模型 考慮經典混沌系統(tǒng)—Lorenz系統(tǒng)： (1) 其中 ， , , 為系統(tǒng)參數(shù)，當 , ， ,時，Lorenz系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。 要得到一個自治的超混沌系統(tǒng)，必須滿足以下條件： (1)相空間至少為四維，即一階非線性常微分方程組至少包含四個方程； (2)在方程組中引起系統(tǒng)不穩(wěn)定的項的數(shù)量至少為兩個，其中至少含有一個非線性項。 (3)系統(tǒng)擁有兩個正的Lyapunov指數(shù)，一個零指數(shù)和一個負指數(shù)。 我們在對Lorenz系統(tǒng)進行反饋控制的研究時，得到一個滿足上述條件的四階系統(tǒng)： (2) 其中 ， , ， ， 為系統(tǒng)的待定參數(shù)。 當待定參數(shù)取 時，此系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)。新超系統(tǒng)混沌吸引子的x-y 平面和x-u平面相圖如圖1 所示. 由混沌理論可知, 在狀態(tài)空間混沌吸引子的相鄰軌線之間呈現(xiàn)出彼此排斥的趨勢, 并以指數(shù)速率相互分離, 而Lyapunov 指數(shù)是定量描述軌線收縮或擴張的量. 運用Wolf方法[14]計算得系統(tǒng)(2)具有兩個正的Lyapunov指數(shù)，其指數(shù)分 ， 。運用數(shù)值仿真可得該系統(tǒng)的Poincare映射以及最大的三個李雅普諾夫指數(shù)譜如圖2所示，由此可知系統(tǒng)(2)在待定參數(shù) 時為超混沌系統(tǒng)。 (a) (b) (c) (d) (e) 圖1 超混沌吸引子(a)相圖 ;(b) 相圖 ;(c)相圖 ;(d)相圖 ;(e)相圖 Fig1. Hyper-chaotic attractor of system (2) (a)Lyapunov指數(shù)譜 (b)Poincare映射 圖2 超混沌系統(tǒng)(2)的非線性特征 Fig2. Nonlinear character of hyper-chaotic system (2) 2 超混沌同步 2.1非線性激活控制同步 對于新混沌系統(tǒng)(2),驅動系統(tǒng)定義為 （3） 響應系統(tǒng)為 （4） 其中參數(shù) , ， ， ，且 為控制函數(shù)，令誤差變量為 ,則得到下列誤差系統(tǒng) （5） 定義激活控制函數(shù)[9]為 （6） 選擇控制輸入 ， ， ， 為 （7） 其中 。 由于閉環(huán)系統(tǒng)的特征根分別為-1，-1，-1，因此當 時，誤差變量 都收斂于零，這就意味著兩個系統(tǒng)（2）能夠實現(xiàn)混沌同步。 2.2非線性反饋控制同步 對于新混沌系統(tǒng)(2),驅動系統(tǒng)定義為 （8） 構造響應系統(tǒng) （9） 其中 ， ， ， 為未知反饋控制函數(shù)。 定理1：考慮驅動系統(tǒng)（8）與響應系統(tǒng)（9），并取反饋控制函數(shù) ， ， ， （10） 若 滿足條件 （11） 則驅動系統(tǒng)（3）與響應系統(tǒng)（8）實現(xiàn)混沌同步。 證明：令 ， ， ， 并按上述方法取反饋控制函數(shù) ， ， ， 。由（9）和（14）可得： （12） 根據(jù)李雅普諾夫第二方法[10]，構造一個正定的李雅普諾夫函數(shù) ，則有 若 滿足不等式（11），則上式右邊 ， 和 的系數(shù)小于零，且 ，根據(jù)李雅普諾夫第二方法可知，誤差系統(tǒng)在零點是穩(wěn)定的，且 將以指數(shù)率收斂到零。即驅動系統(tǒng)（8）與響應系統(tǒng)（9）實現(xiàn)混沌同步。 2.3非線性耦合同步 先將系統(tǒng)(3)寫成矩陣形式如下： (14) 其中 ， ， 。 考慮下列與系統(tǒng)(14)耦合的系統(tǒng)： (15) 其中 為耦合矩陣，當耦合矩陣 為常值矩陣，則稱系統(tǒng)(14)與(15)是線性耦合的；當耦合矩陣 中取含有狀態(tài)變量的矩陣函數(shù)時，則稱系統(tǒng)(14)與(15)是非線性耦合的。 根據(jù)(14)與(15)可得它們的誤差系統(tǒng)為： (16) 其中 ， ， 。 系統(tǒng)(14)與(15)的非線性耦合同步是指在耦合矩陣為含狀態(tài)變量的矩陣函數(shù)時，當 時，系統(tǒng)誤差 ，即 。 取耦合矩陣含狀態(tài)變量的函數(shù)矩陣為 ，其中 為可調節(jié)參數(shù)，即這時系統(tǒng)(14)與(15)是非線性耦合的。 則可得誤差系統(tǒng)(16)為： (17) 其中 。 由此可見，矩陣 為反對稱矩陣，則有： ，其中 根據(jù)李雅普諾夫第二方法，構造一個正定的李雅普諾夫函數(shù) ，則有： 其中 (13) 要使矩陣 為正定矩陣，可調節(jié)參數(shù) 必須滿足以下條件： (i) (ii) (iii) (iv) （14） 由于可調節(jié)參數(shù) ，為了方便，取 ，條件(i)和(iii)恒成立，即只要可調參數(shù) 滿足： ， (15) 此時矩陣 為正定矩陣， 則 ，即 為負定，根據(jù)李雅普諾夫第二方法可知，誤差系統(tǒng)在零點是穩(wěn)定的，即對于任意的初始條件 ，均有 。 于是有以下定理： 定理2：當系統(tǒng)(10)中取耦合矩陣為 且 滿足條件(15)時，非線性耦合系統(tǒng)(9)與(10)是全局漸進穩(wěn)定同步的。 3 數(shù)值仿真 在下列仿真實驗中系統(tǒng)參數(shù) ，驅動系統(tǒng)的初始值均取為為 ，響應系統(tǒng)的初始值均取為為 ，則誤差系統(tǒng)變量的初始值為 ，各方程均運用四階Runge-kutta法求解，選擇步長 。 圖3 (a1)和(a1)給出了系統(tǒng)(3)與(4)在非線性反饋控制前后的 的時間序列，(b1)和(b1)給出了系統(tǒng)(3)與(4)在非線性反饋控制前后的 的時間序列，由圖很清楚地看到新超混沌系統(tǒng)通過非線性控制實現(xiàn)了超混沌同步。 圖4給出了非線性耦合系統(tǒng)的誤差衰減情況，達到超混沌系統(tǒng)同步速度十分快，可見非線性耦合方法對于實現(xiàn)超混沌系統(tǒng)同步是很有效的。 (a1) (a2) (b1) (b2) 圖3 非線性反饋控制下的時間序列 , Fig3. Time series of feedback controlled synchronization (a) (b) 圖4 非線性耦合控制超混沌同步的誤差圖 Fig4. The errors of nonlinearly coupled hyper-chaotic synchronization 4.結論 混沌同步是混沌通信的關鍵問題，它是實現(xiàn)混沌通信的基礎。本章主要就混沌同步方法進行了分析和討論，并采用了不同同步方法實現(xiàn)超混沌系統(tǒng)的同步。此運用非線性反饋控制和非線性耦合同步方法對新超混沌系統(tǒng)進行同步控制，運用理論證明與數(shù)值模擬進行驗證同步控制方法的有效性。經過分析可得，非線性反饋同步控制方法與非線性耦合同步控制方法具有很好的可實現(xiàn)性與實用性，在工程實際領域中具有廣泛的應用前景。由于對同步建立時間和對混沌系統(tǒng)參數(shù)變化的魯棒性而言，非線性反饋與非線性耦合同步方法比其他同步方法具有優(yōu)勢，并對于研究混沌通信等方面具有很重要的意義。 參考文獻： [1] G Perez, H A Cerdeira, Extracting messages masked by chaos, Physica. Review Letters, 1995, 74： 1970-1973. [2] K.M.Short, Steps toward unmasking secure communications, Int. J. of Bifurcation and chaos, 1994, 4(4)：959-977 [3] O.E.Rossler. An equation for continuous chaos. Pbys.Lett.A. 1976, 57：397-398. [4] Lorenz E N. Deterministic non-periodic flow [J]. J. Atmos Sci., 1963,20:130-141. [5] CHEN G, UETA T. Yet anthor chaotic attractor[J]. Int J Bifur Chaos, 1999, 9(6): 1465-1466. [6] Lü J, Chen G. A new chaotic attractor coined[J]. Int J Bifur Chaos, 2002, 12(3): 659-661. [7] Pecora L M,Carroll T L. Synchronization in chaotic systems. Phys. Rev.Lett, 1990,64(8):821-824. [8]陶朝海,陸君安,呂金虎.統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的反饋同步.物理學報,2002,51(7)：1497-1501. [9]關新平,范正平,彭海朋等.陳氏混沌系統(tǒng)的自適應控制.物理學報,2001,50：2108-2111. [10]Jiang G P and Tang W K S.A global synchronization criterion for couplet chaotic systems via unidirectional linear error feedback approach. Int. Bifurcation and Chaos. 2002, 12(10)： 2239-2253. [11] 陳關榮, 呂金虎. Lorenz 系統(tǒng)族的動力學分析控制與同步[M].北京: 科學出版社, 2003. [12] Kevin M Cuomo, Alan V Oppenheim and Steven H Strogatz. Synchronization of Lorenz-based chaotic circuits with applications to communications. IEEE Trans. On CAS-II, 1993, 40(10)： 626-633. [13] Tamasevicius A., Namajunas A and Cenys A. Simple 4D chaotic oscillator. Electron Lett.1996, 32：957-958. [14] Alan Wolf, Determining Lyapunov exponents from a time series, Physica, 15D, 1985,16:285-317.
作品專業(yè)信息
撰寫目的和基本思路
- 本文在Lorenz系統(tǒng)族的基礎上，通過對目前提出的新混沌系統(tǒng)進行分析，針對這些新混沌系統(tǒng)方程中非線性項的單一性，提出在動力學方程中含有不同類型非線性項的一個新的混沌系統(tǒng)。通過相圖、分岔圖分別闡述了混沌吸引子、周期運動和混沌運動；通過計算動力學方程時間序列的Lyapunov指數(shù)譜揭示了其行為的復雜性,驗證了該系統(tǒng)的分岔圖與Lyapunov指數(shù)譜圖的一致性。并且通過非線性反饋控制方法，實現(xiàn)了系統(tǒng)的同步
科學性、先進性及獨特之處
- 本文提出了一個新的三維連續(xù)自治混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)不同于Lorenz系統(tǒng)族，即利用分岔圖、相圖分析了該自治系統(tǒng)的混沌形成過程計算出系統(tǒng)混沌的吸引子所對應的lyapunov指數(shù)，通過仿真系統(tǒng)所對應的全局lyapunov指數(shù)譜，準確地刻畫出系統(tǒng)的周期運動和混沌運動的區(qū)域；利用非線性反饋控制方法，實現(xiàn)了系統(tǒng)的在不同初值下的自同步研究。這類新混沌系統(tǒng)的提出及動力學行為的研究為保密通訊提供了新的加密系統(tǒng)
應用價值和現(xiàn)實意義
- Lorenz系統(tǒng)族的研究貫穿整個混沌科學的發(fā)展，對混沌系統(tǒng)的研究具有十分重要的意義，新的混沌系統(tǒng)都是在此基上不斷提出的，隨著混沌在保密通訊方面的應用，混沌的同步研究也在不斷的深入，本文使用非線性動力學預測或回歸映射等方法，可以重構混沌系統(tǒng)，從而對信息進行解密，含有多個正的李雅普諾夫指數(shù)的超混沌系統(tǒng)，可以產生更加復雜的動力學行為，具有更強的不可預測性，從而提高通信的保密性
學術論文摘要
- 提出一種新的超混沌系統(tǒng)，基于相圖、Poincare映射以及李雅普諾夫指數(shù)圖研究該系統(tǒng)在適定的參數(shù)下出于超混沌狀態(tài)，然后對兩個恒同的新超混沌系統(tǒng)進行超混沌同步控制的研究，分別給出在非線性控制方法與非線性耦合法下實現(xiàn)超混沌同步的條件并進行理論證明，最后運用數(shù)值仿真證實控制方法的有效性
獲獎情況
- 無
鑒定結果
- 無
參考文獻
- [1]Pecora L M, Carrol T L. Synchronization in chaotic system [J]. Phus Rev Lett, 1990, 64:821~824.[2]陶朝海,陸君安,呂金虎.統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的反饋同步.物理學報,2002,51(7)：1497-1501.[3]關新平,范正平,彭海朋等.陳氏混沌系統(tǒng)的自適應控制.物理學報,2001,50：2108-2111 [4] 陳關榮, 呂金虎. Lorenz 系統(tǒng)族的動力學分析控制與同步[M].北京: 科學出版社, 2003.
同類課題研究水平概述
- Lorenz系統(tǒng)作為第一個混沌模型，是混沌學發(fā)展史上的一個重要的里程碑，具有舉足輕重的地位。1999年，陳關榮等在混沌系統(tǒng)反饋控制中，發(fā)現(xiàn)了一個與Lorenz系統(tǒng)非拓撲等價的新的混沌系統(tǒng)，即Chen系統(tǒng)，二者被認為對偶系統(tǒng)。隨后，Lü等人研究發(fā)現(xiàn)了介于這二者之間的一個臨界自治混沌。2004年，劉崇新等又提出了一種新的三維自治混沌系統(tǒng)，這個系統(tǒng)也屬于Lorenz系統(tǒng)族。本文通過Routh-Hurwitz準則分析了新混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定性，利用分岔圖、相圖分析了該動力學系統(tǒng)的混沌形成過程，通過計算動力學方程時間序列的Lyapunov指數(shù)譜分析了系統(tǒng)混沌特性,揭示了此類系統(tǒng)混沌運動通向周期運動的轉化過程及系統(tǒng)的動力學行為的復雜性。隨著對混沌理論的深入研究，近幾年來它在科學和工程技術領域中的應用研究也迅猛發(fā)展起來。20世紀90年代初，自從提出了驅動——響應同步概念以來，相繼出現(xiàn)的混沌同步方法有廣義同步、相同步和一致性同步、激活控制同步等。由于混沌同步在保密通信、生命科學等領域潛在的應用價值，對這一課題的研究引起了人們的廣泛關注。1990年，Pecora, Carroll提出了非線性動力學系統(tǒng)混沌軌道的同步化方法—驅動—響應同步化方法，此方法開辟了混沌理論應用于實際的新途徑。此后，不斷有新的同步控制方法被提出。Yu和Liu提出了一個基于線性系統(tǒng)穩(wěn)定性準則的混沌同步方法(SC方法)，該方法適用于自治、非自治混沌系統(tǒng)、高維混沌系統(tǒng)及超混沌系統(tǒng)的同步，方法簡單有效，大大推進了非線性科學的應用與研究。目前混沌同步研究的一般都是以一些具體的典型的混沌系統(tǒng)為研究對象的，這些常用的典型的混沌系統(tǒng)模型有：Lorenz系統(tǒng)、Rossler系統(tǒng)、Chua電路、Duffing振子、Logistic系統(tǒng)、Henon映射等等，陳關榮教授在研究混沌反控制的過程中發(fā)現(xiàn)了一個新的吸引子，該系統(tǒng)與Lorenz系統(tǒng)和Rossler系統(tǒng)均不拓撲等價，人們稱其為Chen系統(tǒng)，這是又一個典型的混沌系統(tǒng)，也被作為混沌同步研究的熱點系統(tǒng)，此外還有Lorenz系統(tǒng)族也是研究的熱點。隨著研究的深入，很多混沌系統(tǒng)不斷的誕生，以上的只是在混沌研究中被廣泛引用的一些典型的混沌系統(tǒng)。本文分析了所提出的新超混沌系統(tǒng)的動力學特性，利用非線性控制方法與非線性耦合法實現(xiàn)了系統(tǒng)的同步
