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基本信息
- 項目名稱：
- 一類平面高次多項式微分系統(tǒng)的定性分析
- 小類：
- 數(shù)理
- 簡介：
- 本文是通過研究一類平面高次多項式微分系統(tǒng)的中心焦點判定與極限環(huán)問題，運用基于H.Poincaré思想的形式級數(shù)法，對系統(tǒng)進(jìn)行細(xì)焦點的分析；利用對稱原理對系統(tǒng)進(jìn)行中心判定；并利用Hopf分支理論，分析的到了系統(tǒng)極限環(huán)存在性與穩(wěn)定性的若干充分條件。
- 詳細(xì)介紹：
- 本文的題目是《一類平面高次多項式微分系統(tǒng)的定性分析》， 第一作者是王旭康，就讀于湖南工業(yè)大學(xué)，本科學(xué)歷 此文章屬于自然科學(xué)類學(xué)術(shù)論文 在劉興國教授和呂勇教授的指導(dǎo)下進(jìn)行了對作品的修改和完善。 本文是通過研究一類平面高次多項式微分系統(tǒng)的中心焦點判定與極限環(huán)問題，運用基于H.Poincaré思想的形式級數(shù)法，對系統(tǒng)進(jìn)行細(xì)焦點的分析；利用對稱原理對系統(tǒng)進(jìn)行中心判定；并利用Hopf分支理論，分析的到了系統(tǒng)極限環(huán)存在性與穩(wěn)定性的若干充分條件。常微分方程所具有的重大意義主要在于：很多物理與技術(shù)問題可以化歸為常微分方程的求解問題，如自動控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計、彈道的計算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過程穩(wěn)定性的研究等。此外，常微分方程在生態(tài)學(xué)、人口學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等許多其他領(lǐng)域中也有重要的應(yīng)用。這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問題。開展對多項式微分系統(tǒng)定性分析的研究，一方面將豐富和發(fā)展微分方程理論，另一方面也為一些實際問題的解決提供必要的理論基礎(chǔ)。
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作品專業(yè)信息
撰寫目的和基本思路
- 作品目的：在常微分方程定性理論中，中心焦點的判定是一個極為重要的研究難題。同時極限環(huán)問題也是平面定性理論研究的主要問題之一。本論文對一類平面微分系統(tǒng)進(jìn)行中心焦點的判定和極限環(huán)存在性參數(shù)條件的構(gòu)建。 研究思路：運用基于H.Poincaré思想的形式級數(shù)法對系統(tǒng)進(jìn)行細(xì)焦點的分析；利用對稱原理對系統(tǒng)進(jìn)行中心條件的判定；依據(jù)Hopf分支理論，分析構(gòu)建系統(tǒng)極限環(huán)存在性與穩(wěn)定性的若干充分條件。
科學(xué)性、先進(jìn)性及獨特之處
- 由常微分方程來直接研究和判斷解的性質(zhì)，這是常微分方程定性理論的基本思想。本論文采用常微分方程定性理論的分析方法與手段，對一類平面高次多項式微分系統(tǒng)進(jìn)行定性分析，解決了該系統(tǒng)中心焦點的判定問題，分析得到了該系統(tǒng)極限環(huán)存在性與穩(wěn)定性的若干充分條件。本文則是對一類具有n階細(xì)焦點的多項式微分系統(tǒng)進(jìn)行了定性分析，并通過判定焦點量的階數(shù)決定了通過微小擾動在奇點鄰域內(nèi)產(chǎn)生極限環(huán)的個數(shù)。
應(yīng)用價值和現(xiàn)實意義
- 隨著現(xiàn)代化社會的發(fā)展，常微分方程無論是在工程、宇航等自然科學(xué)領(lǐng)域還是在經(jīng)濟(jì)、金融等社會科學(xué)領(lǐng)域，都有著廣泛的應(yīng)用。對于數(shù)學(xué),特別是數(shù)學(xué)的應(yīng)用, 常微分方程所具有的重大意義主要在于：很多物理與技術(shù)問題可以化歸為常微分方程的求解問題，如自動控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計、彈道的計算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過程穩(wěn)定性的研究等。
學(xué)術(shù)論文摘要
- 研究一類平面高次多項式微分系統(tǒng)問題。運用基于H.Poincaré思想的形式級數(shù)法，對系統(tǒng)進(jìn)行細(xì)焦點的分析；利用對稱原理對系統(tǒng)進(jìn)行中心判定；并利用Hopf分支理論，分析的到了系統(tǒng)極限環(huán)存在性與穩(wěn)定性的若干充分條件。
獲獎情況
- 無
鑒定結(jié)果
- 無
參考文獻(xiàn)
- 參考文獻(xiàn)： [1] 張芷芬，丁同仁，黃文灶，等. 微分方程定性理論[M]. 北京：科學(xué)出版社，1985：41-118，196-233. [2] 葉彥謙. 多項式微分系統(tǒng)定性理論[M]. 上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1995. [3] 張錦炎，馮貝葉． 常微分方程幾何理論與分支問題[M]． 北京：北京大學(xué)出版社,2000. [4] 陳明暉，鄧明立．常微分方程定性理論與穩(wěn)定性理論的哲學(xué)思考[Ｊ]．自然科學(xué)史研究，2005，24(1):45-52. [5] 劉興國，黃立宏.一類平面多項式系統(tǒng)極限環(huán)的存在唯一性[Ｊ]．高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(Ａ輯)，2007，22(4):455-461. [6] 劉一戎，章麗娜.一類5次系統(tǒng)高次奇點的中心焦點判定[Ｊ].浙江師范大學(xué)學(xué)報， 2008，31(1):17-22.
同類課題研究水平概述
- 極限環(huán)問題的研究，在常微分方程定性理論中扮演了一個重要的角色．著名數(shù)學(xué)家Hilbert在1900年巴黎國際數(shù)學(xué)家大會上提出了影響數(shù)學(xué)發(fā)展的23個問題．第16問題的后半部分就是極限環(huán)問題，這個問題是：對于右端為不高于n次的實平面微分自治系統(tǒng) ， . 這類方程最多有多少個極限環(huán)，當(dāng)達(dá)到最大數(shù)目時它們的相對位置如何?這個問題一直吸引著眾多數(shù)學(xué)工作者的關(guān)注，其困難程度也一直困擾著人們。為了解決這一難題，已出現(xiàn)了大量的研究論文，也產(chǎn)生了大量的研究方法與優(yōu)秀的成果，在很大程度上促進(jìn)了定性理論的發(fā)展。然而在平面系統(tǒng)極限環(huán)理論的研究中，中心焦點判定是一個極為重要的研究難題，由于焦點量的階數(shù)決定了通過微小擾動在奇點鄰域內(nèi)產(chǎn)生極限環(huán)的個數(shù)，而實平面極限環(huán)的個數(shù)首先取決于各奇點鄰域內(nèi)極限環(huán)的個數(shù)，因而Hilbert第16問題解決的第一難關(guān)就是焦點量階數(shù)的研究，即中心焦點的判別。1976年，前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家Arnold提出微分方程穩(wěn)定性理論中至今懸而未決的Arnold問題。如果一個向量場是由具有固定次數(shù)，帶有有理系數(shù)的多項式來給定，那么是否能給出一個判定準(zhǔn)則的算法來定出此向量場中之駐定點的穩(wěn)定性?正如文[1]指出：Arnold問題的徹底解決依賴于中心焦點判別．因此不論是Hilbert第16問題還是Arnold問題，焦點量的研究都具有頭等重要的意義。 迄今為止，關(guān)于中心焦點判別的已有工作大多集中在對二次、三次具體系統(tǒng)的研究上。1911年，Kapteyn[2]給出了特殊二次系統(tǒng)的中心條件。 1952年，Bautin[3]在Kapteyn條件的基礎(chǔ)上，證明了二次系統(tǒng)焦點量公式(其中第三個焦點量的符號，在1981年被秦元勛、劉尊全[4]用計算機(jī)推導(dǎo)證明是錯誤的)，從而徹底地解決了二次系統(tǒng)的中心焦點判別問題。1982年李承治在[5]中直接應(yīng)用一般二次系統(tǒng)的系數(shù)給出了相應(yīng)的判別量．近年來，關(guān)于多項式系統(tǒng)中心條件的研究逐漸增多[6,7]。然而， 1994年，杜乃林、曾憲武[8],在分析極坐標(biāo)下求解形式級數(shù)方法的基礎(chǔ)上，得到了一類計算焦點量的遞推公式，在一定程度上降低了焦點量計算的難度，但仍然涉及較為復(fù)雜的非線性運算，因此，中心焦點判定是一個極為重要的研究難題。
