基本信息
- 項目名稱：
- 權為的x2Legendre正交多項式的研究與應用
- 小類：
- 數(shù)理
- 大類：
- 自然科學類學術論文
- 簡介：
- 本文提出一類新的以x2為權的Legendre正交多項式，并應用生成函數(shù)法嚴格證明該多項式的正交性，且給出該多項式明確的模值及其遞推關系、微分關系和積分關系等相關性質(zhì)，以此作為一類以x2m為權的正交多項式的研究基礎。進一步，本研究小組從圖像正交矩理論出發(fā)，首次提出一類基于權為x2的Legendre多項式的交錯正交矩，并通過重構實驗，說明該交錯矩具有很好的圖像特征表達能力。
- 詳細介紹：
- 經(jīng)典正交多項式的研究大多由19世紀的Jacobi，Hermite，Laguerre等歐洲數(shù)學家所提出。該多項式具有確定的物理含義、簡潔的解析表達以及廣泛的工程應用，自問世以來一直得到數(shù)學、物理以及工程等領域的關注。 正交多項式之所以受到廣泛關注，不僅因為它所具有的數(shù)學價值，如連分式、歐拉系列、橢圓函數(shù)、量子代數(shù)等，更重要的是它和物理、工程應用等有很深的聯(lián)系，典型應用是圖像處理和模式識別技術，如以正交多項式為核函數(shù)的圖像正交矩與不變特征量等。因此，研究正交多項式的表達與性質(zhì)具有重要的理論與工程應用價值。 目前經(jīng)典正交多項式的研究多集中在國外，但近些年對其他類別的經(jīng)典正交多項式的解析表達及其性質(zhì)的研究并沒有實質(zhì)性的突破，不僅國外對該領域的報道罕見，國內(nèi)其研究成果更是鮮見報道。國內(nèi)相關領域對其解析表達的研究更是鮮見報道。雖通過Christoffel定理和Schmidt定理，可構造任意權的正交多項式，但卻無法得到其解析式，且隨著權函數(shù)與多項式階數(shù)的增大，構造新正交多項式的難度也隨之增大。這是目前研究經(jīng)典正交多項式解析表達的難點。 本研究小組研究的以x2為權的Legendre多項式不屬于已有經(jīng)典多項式（如Jacobi多項式等）的范疇。對于該多項式的研究目的有二： A. 本文探討的x2權的Legendre多項式目的在于為研究一類以x2m為權的Legendre正交多項式提供初步的技術探索，而該研究方向的最終目標是探求一類正交多項式解析表達的一般性原則。 B．作為圖像正交矩的構建基礎，研究小組希望從此類多項式出發(fā)，尋找具有更好特征表達能力的圖像正交矩。 鑒于以上研究目標，研究小組從經(jīng)典正交多項式的基本原理和特性出發(fā)，提出一套權為x2的Legendre多項式的解析表達，并通過生成函數(shù)法求取其模值，嚴格證明該多項式的正交性及其相關性質(zhì)如遞推關系，微分關系和積分關系等。最后研究小組給出一組基于該正交多項式的正交矩并進行試驗驗證。
作品專業(yè)信息
撰寫目的和基本思路
- 本小組研究了一類以x2為權的Legendre正交多項式，提出其模值，并通過生成函數(shù)法嚴格證明了其正交性與其他一些相關性質(zhì)，以此作為一類權為x2m 的Legendre正交多項式的研究基礎。本研究小組還進一步提出基于權為x2的Legendre正交多項式的交錯正交矩，設計出一個重構實驗,通過對比該交錯正交矩與Zernike矩在圖像重構上的誤差值，表明該交錯正交矩具有很好的圖像特征表達能力。
科學性、先進性及獨特之處
- 研究小組以經(jīng)典正交理論為基礎，以生成函數(shù)法為手段，研究了權為x2的Legendre正交多項式及其模值的解析表達和其他相關性質(zhì)；進一步，作品從圖像正交矩理論出發(fā)，首次提出一類基于權為x2的Legendre多項式的交錯正交矩，并通過重構實驗，說明該交錯矩具有很好的圖像特征表達能力。以研究小組目前掌握的資料來看，本作品所有研究成果目前未見報道，屬首次提出。
應用價值和現(xiàn)實意義
- A．本文探討的x2權的Legendre多項式目的在于為研究一類以為x2m權的Legendre正交多項式提供初步的技術探索，而該研究方向的最終目標是探求一類正交多項式解析表達的一般性原則。 B．本研究小組所提出的交錯正交矩在圖像處理上具有顯著優(yōu)勢。此外，該多項式作為圖像正交矩構建的基礎，研究小組希望從此類多項式出發(fā)，尋找具有更好特征表達能力的圖像正交矩。
學術論文摘要
- 經(jīng)典正交多項式涉及數(shù)學、物理等諸多應用，典型應用是圖像處理和邊緣模式識別技術。但近些年來，對經(jīng)典正交多項式的研究并沒有取得新進展。本文提出一類新的以x2為權的Legendre正交多項式，并應用生成函數(shù)法嚴格證明該多項式的正交性，且推出了該多項式明確的模值及其遞推關系、微分關系和積分關系等相關性質(zhì)，以此作為一類以x2m為權的正交多項式的研究基礎。進一步，本研究小組從圖像正交矩理論出發(fā)，首次提出一類基于權為x2的Legendre多項式的交錯正交矩，并通過重構實驗，說明該交錯矩具有很好的圖像特征表達能力。
獲獎情況
- 2009年6月，榮獲湖北省第七界“挑戰(zhàn)杯”大學生課外學術科技作品競賽一等獎
鑒定結果
- 暫無
參考文獻
- [1] Bailey, W. N., The generating function of Jacobi polynomials,J.London Math. Soc., 1938, 13: 8–12. [2] Fikret, A., Some useful properties of Legendre polynomials and its applications to neutron transport equation in slab geometry, Applied [3]. M.R. Teague, Image analysis via the general theory of moments[J], J.Opt. Soc. Am. 70 (9) (1982) 920–930. [4]. 孫家昶, 新的一類三變量正交多項式及其遞推公式[J], 中國科學(A輯:數(shù)學), 2008, 51(6): 1071–1092.
同類課題研究水平概述
- 經(jīng)典正交多項式涉及數(shù)學、物理等諸多應用，典型如不變量的模式識別、圖像重構、邊緣檢測、圖像識別等。 經(jīng)典正交多項式主要包括區(qū)間[-1, 1]內(nèi)權為的Jacobi多項式、(-∞, +∞)內(nèi)權為的Hermite多項式和在(0, ∞)內(nèi)權函數(shù)為的Laguerre多項式等。然而，近年來對經(jīng)典正交多項式的研究進展不大。雖然通過Christoffel定理和Schmidt定理，可以構造任意權的正交多項式，但卻無法得到其解析式，而且隨著權函數(shù)與多項式階數(shù)的增大，構造新正交多項式的難度也隨之增大。 因此，為進一步探索經(jīng)典正交多項式的性質(zhì)，本研究小組研究一類權為x2的Legendre多項式。它不屬于上述各類經(jīng)典多項式，是研究小組下一步研究權為x2m的Legendre多項式的前期工作。 本研究小組提出的權為x2的Legendre多項式的正交多項式的解析表達.此外，本文采用生成函數(shù)法對權為x2的Legendre正交多項式的正交性進行了嚴格的證明，推出了它明確的模值，并證明了與其相關的一些性質(zhì)，以此作為一類權為x2m 的Legendre多項式的研究基礎，也為得到更廣泛的正交多項式的解析式開辟了新的方向。并討論以權為x2的Legendre正交多項式為核函數(shù)的圖像正交矩在圖像處理中的應用。本研究小組設計了一個重構實驗，來對比該交錯正交矩與Zernike矩在圖像重構上的誤差值。該實驗表明基于權為x2的Legendre正交多項式的交錯正交矩具有很好的圖像特征表達能力。
