題-1_100_100.jpg)
基本信息
- 項(xiàng)目名稱：
- 兩類正項(xiàng)數(shù)列的研究
- 小類：
- 數(shù)理
- 簡(jiǎn)介：
- 階乘是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容,數(shù)學(xué)分析、數(shù)論、及組合數(shù)學(xué)等都有重要的應(yīng)用。目前,學(xué)者們?cè)趎!與n的冪指之間的關(guān)系方面展不斷地加深展開研究，此問題對(duì)n!較準(zhǔn)確估計(jì)在數(shù)值計(jì)算及對(duì)解決有關(guān)n階乘數(shù)列極限問題大有用途,對(duì)此本文改進(jìn)和推廣了現(xiàn)有的文[7]-[15]的相關(guān)結(jié)論,并利用n!與n的冪指關(guān)系式求解了若干有關(guān)n階乘的數(shù)列極限問題. 單調(diào)有界原理是證明數(shù)列極限存在的重要工具.涉及a(n)的1/n次方正項(xiàng)數(shù)列的單調(diào)有界性的文獻(xiàn)較多.本文就此給出a(n)的1/n次正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)有界性的判定定理,得到了Minc-Sathre不等式及其推廣,并改進(jìn)和推廣了現(xiàn)有的文[16]-[21]的相關(guān)結(jié)論.
- 詳細(xì)介紹：
- 階乘是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容,數(shù)學(xué)分析、數(shù)論、及組合數(shù)學(xué)等都有重要的應(yīng)用。目前,學(xué)者們?cè)趎!與n的冪指之間的關(guān)系方面展不斷地加深展開研究，此問題對(duì)n!較準(zhǔn)確估計(jì)在數(shù)值計(jì)算及對(duì)解決有關(guān)n階乘數(shù)列極限問題大有用途,對(duì)此,本文得到了n!與n的冪指之間的關(guān)系不等式,得到了Stirling公式的一個(gè)變換形式,之后對(duì)其參數(shù)進(jìn)行了討論,得到了其參數(shù)的單調(diào)性和估計(jì)式,改進(jìn)和推廣了現(xiàn)有的相關(guān)結(jié)論,并利用n!與n的冪指關(guān)系式求解了若干有關(guān)n階乘的數(shù)列極限問題. 單調(diào)有界原理是證明數(shù)列極限存在的重要工具.在涉及a(n)的1/n次方正項(xiàng)數(shù)列的單調(diào)有界性的文獻(xiàn)較多.本文就此給出其單調(diào)有界性的判定定理,得到了Minc-Sathre不等式及其推廣.
作品圖片
作品專業(yè)信息
撰寫目的和基本思路
- 本文首先給出了一系列新的n!與n的冪指之間的關(guān)系不等式,得到了Stirling公式的一個(gè)新變換形式,之后對(duì)其參數(shù)的估計(jì)式進(jìn)行了討論,改進(jìn)和推廣了文[7]-[15]的相關(guān)結(jié)論,并利用n!與n的冪指關(guān)系式求解了若干有關(guān)n階乘的數(shù)列極限問題.另外,本文還研究了一類正項(xiàng)數(shù)列.給出其單調(diào)有界性的判定定理,得到了Minc-Sathre不等式及其推廣,并改進(jìn)和推廣了文[16]-[21]的相關(guān)結(jié)論.
科學(xué)性、先進(jìn)性及獨(dú)特之處
- 本文給出了一系列新的n!與n的冪指之間的關(guān)系不等式及Stirling公式的一個(gè)新變換形式,改進(jìn)和推廣了文[7]-[15]的相關(guān)結(jié)論,并利用n!與n的冪指關(guān)系式求解了若干有關(guān)n階乘的數(shù)列極限問題.另外,本文還給出一類a(n)的1/n次方正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)有界性的判定定理,得到了Minc-Sathre不等式及其推廣,并改進(jìn)和推廣了文[16]-[21]的相關(guān)結(jié)論.
應(yīng)用價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義
- 階乘是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容,數(shù)學(xué)分析、數(shù)論、及組合數(shù)學(xué)等都有重要的應(yīng)用,本文給出了一些新的階乘不等式,在實(shí)際應(yīng)用計(jì)算中對(duì)n!較準(zhǔn)確的估計(jì),在實(shí)際應(yīng)用中簡(jiǎn)單解決較繁難的有關(guān)n階乘數(shù)列極限問題,免除特別心思構(gòu)想而單調(diào)有界原理是證明數(shù)列極限存在的重要工具。本文又研究了一類a(n)的1/n次方正項(xiàng)數(shù)列的單調(diào)有界性,利用其性質(zhì)并能簡(jiǎn)單解決涉及此類的實(shí)際問題。
學(xué)術(shù)論文摘要
- 本文研究了兩類正項(xiàng)數(shù)列:n！和a(n)的1/n次方數(shù)列.對(duì)于第一個(gè)數(shù)列,本文得到了n!與n的冪指之間的關(guān)系不等式,得到了Stirling公式的一個(gè)變換形式,之后對(duì)其參數(shù)進(jìn)行了討論,得到了參數(shù)的單調(diào)性和估計(jì)式，改進(jìn)和推廣了現(xiàn)有的相關(guān)結(jié)論,并利用n!與n的冪指關(guān)系式求解了若干有關(guān)n階乘的數(shù)列極限問題.對(duì)于第二類數(shù)列，本文給出其單調(diào)有界性的判定定理,得到了Minc-Sathre不等式及其推廣.
獲獎(jiǎng)情況
- 本校學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)編輯部已審核同意2009年第三期發(fā)表。作品榮獲校級(jí)挑戰(zhàn)杯課外學(xué)術(shù)科技作品競(jìng)賽一等獎(jiǎng)。
鑒定結(jié)果
- 作品創(chuàng)作情況屬實(shí)，同意推薦！ 校專家評(píng)審意見:該文寫作規(guī)范，證明正確，有一定的科學(xué)價(jià)值。建議給予一等獎(jiǎng)勵(lì)。
參考文獻(xiàn)
- [2] 郭常超.Stirling公式的證明綜述[J].許昌學(xué) 院學(xué)報(bào),2008,27(02):138-142. [4] KnoppK.Theory and application of infinite Serie[M].Blackie&SonLimited(London),1928.531-541. [5] Hsu L C.Anew constructive proof of the Stirling formula[J].J Math Res And Expo,1997,17(1):5-7. [6] Hsu L C and X N Luo.On a two-sided inquality involving Stirling’s formula [J].J Math Res And Expo,1999,19(3):491-494. [7] 趙岳清.Stirling公式參數(shù)θ的一個(gè)精確估計(jì)[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2005,23(03):331-334. [8] Robbins H.A remark on Stirling’s formula[J].Amer.Math.Montly,1955,62:26-29. [9] 曹景天.一種級(jí)數(shù)求和方法及其幾個(gè)推論[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),1990,20(2):77 - 84. [10] 仲崇新.二項(xiàng)概率和超幾何概率的近似計(jì)算及其誤差[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),1991,21(1): 55-61. [12] 彭求實(shí).Stirling公式的改進(jìn)及二項(xiàng)分布概率的近似計(jì)算[J].哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006,22(4):101-103+109. [19] 孫建設(shè).數(shù)列 的單調(diào)有界性及其極限[J].高等數(shù)學(xué)研究,2004,7(01):45-48. [20] 張國(guó)銘.一個(gè)不等式的兩個(gè)簡(jiǎn)捷證明[J].高等數(shù)學(xué)研究,2008,11(03):6-7. [21] 孫秀亭.Minc—Sathre不等式的推廣[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006,23(02):114-116.
同類課題研究水平概述
- 著名的Stirling公式[1-2]:(1)但(1)式證明比較復(fù)雜且其參數(shù)沒有顯式表達(dá)式.由(1)式我們還可得到:(2).事實(shí)上,(2)式本身也可給出一個(gè)獨(dú)立的簡(jiǎn)單證明[3]且其得到的時(shí)間比(1)式早.目前,學(xué)者們?cè)趎!與n的冪指之間的關(guān)系方面展開的研究得到了較好的結(jié)果.1928年,Knopp[4]利用Euler-Maclaurin公式,得到如下估計(jì)式:(3)、(4).其中B(2j)為Bernoulli數(shù).1997年,徐利治教授等[5]建立了一個(gè)等式:(5),并于1999年在(5)式的基礎(chǔ)上得到不等式[6]:(6),其中常數(shù)0.5是最佳的.2005年趙岳清[7]改進(jìn)了(6)式,得到當(dāng)n>=1時(shí),有(7),其中常數(shù)293/720是最佳的. 本文在以上學(xué)者工作的基礎(chǔ)上給出一系列新的n!與n的冪指之間的關(guān)系不等式,并得到如下公式:(8).其中(8)中的參數(shù)關(guān)于n嚴(yán)格單調(diào)下降,并成立下面的估計(jì)式:設(shè)N是滿足B的正整數(shù),常數(shù)a滿足0<a<B,則當(dāng)n>=N時(shí),有(9).(9)式也是(7)式的一個(gè)改進(jìn)和推廣. 對(duì)于Stirling公式(1)中的參數(shù),有很多學(xué)者進(jìn)行了討論和研究.1955年,Robbins[8]給出(10).1990年,曹景天[9]利用一種級(jí)數(shù)求和的方法將(10)加細(xì)為(11).1991年,仲崇新[10]又將(11)改進(jìn)為(12).1997年,彭求實(shí)[11-12]應(yīng)用級(jí)數(shù)理論改進(jìn)(10)至(12)中參數(shù)的上界,得到(13). 本文在上面工作的基礎(chǔ)上得到:當(dāng)n>=1時(shí),(1)中的參數(shù)嚴(yán)格單調(diào)上升,滿足不等式(14)且有精確式表達(dá)式(15).另外,本文得到的n!與n的冪指之間的一些關(guān)系不等式也是文[14]-[15]中的有關(guān)結(jié)論的推廣.最后我們利用它們求解了若干有關(guān)n階乘的數(shù)列極限問題. 著名的Minc-sathre不等式[16-21]:(16).文[19-20]給出(17).文[21]又將(16)式和(17)進(jìn)行了推廣:若a(n)是等差數(shù)列,首項(xiàng)為a(1),公差為d,且a(1)>d>0,則成立(18),(19). 本文在此基礎(chǔ)上給出了一系列a(n)的1/n次方正項(xiàng)數(shù)列的單調(diào)性的判定定理.我們將前述文[21]的結(jié)論改進(jìn)和推廣,這一結(jié)論視為為文[16]-[21]中相關(guān)結(jié)論的推廣.
